TRIOS PITAGÓRICOS (Parte 1 de 3)

Breve a segunda parte.

BUSCANDO SOLUÇÕES

Provas sem palavras - Áreas

Olá Pessoal
 Vou iniciar uma série de vídeos intitulados "Provas sem palavras".

“Provas sem palavras” são animações, figuras ou diagramas com poder de sugestão e convencimento. Elas auxiliam “ver o porquê” da veracidade de uma determinada propriedade e, muitas vezes, dão pistas para sua demonstração. O objetivo principal é convencer.

A importância das “provas sem palavras” está na excitação do raciocínio matemático através de estímulos visuais. 

Nessa primeira série vamos obter as áreas do trapézio, triângulo, paralelogramo e losango. O objetivo é fragmentar a figura original e remontar as peças formando um retângulo equivalente. Neste tipo de  prova admite-se conhecida a área do retângulo (base×altura).

Área do paralelogramo:

 

Área do triângulo:

 

Área do trapézio:

Área do losango:

Até a próxima

 

A MATEMÁTICA NA HISTÓRIA DA CIVILIZAÇÃO - PARTE FINAL

Vamos retomar a questão da busca pela solução analítica para equações cúbicas incompletas da forma  x³ + px = q   ou  x³ = px + q   ou  x³ + q = px, para q e p positvos. 
 Foram investigadas pelo professor Scipione del Ferro. Consta que ele resolveu todos os tipos mas não publicou tais descobertas, que só mais tarde se tornaram conhecidas. Um veneziano Tartaglia redescobriu os métodos de Scipione mas guardou segredo em relação ao método. Finalmente revelou suas idéias a um médico de Milão, Girolano Cardano, que jurou guardar segredo. Dez anos depois, Cardano publica um pequeno notável livro de álgebra (Ars Magna). Tartaglia descobriu que o método descoberto por ele era divulgado amplamente no livro com o reconhecimento do descobridor, mas roubado.

Houve debates amargos, insultos recíprocos que deram origem a documentos nos quais a história desta descoberta chegou ao domínio público. A solução ficou conhecida como solução de Cardano.

Vejamos alguns exemplos concretos, usando a fórmula de Cardano:

1 -  Resolver a equação x³ - 6x - 9 = 0  (p = -6 e q = -9) que se se enquadra no tipo x³ = px + q

 

x = 2 + 1 = 3.

Constata-se que 3 é realmente uma solução da equação dada.

À primeira vista parecia que tudo estava resolvido, mas começavam a surgir dúvidas. A mais simples delas era a seguinte: se a fórmula de Bhaskara exibia as duas raízes da equação do 2º grau, por que a fórmula de Cardano só apresentava uma raiz? Onde estavam as outras duas?

2 -  Por simples verificação, constata-se que 4 é uma solução para a equação x³ - 15x - 4 = 0. Mas veja o resultado final da aplicação da fórmula de Cardano ao resolvê-la:

 

Caiu-se na extração de raízes quadradas de números negativos e extração de raízes cúbicas de números dos quais não se conhecia a natureza.

Os fatos indicavam que os números com que a Matemática vinha lidando há séculos não eram suficientes para o estudo da Álgebra. Os matemáticos estavam diante de um tipo de número totalmente desconhecido.

O homem que conseguiu atravessar a ponte que levava aos novos números foi o engenheiro hidráulico Rafael Bombelli, nascido em Bolonha, Itália, em 1530.

Usando para exemplo a equação x³ - 15x - 4 = 0, que resolvida pelo método de Cardano levava à expressão:

 

e, sabendo que uma raiz era x = 4 (constatada por substituição), baseou-se no “pensamento rude” como ele mesmo revelou no livro “L’ Algebra parte Maggiore dell’ Arithimetica”.

Acreditou que

deveriam ser números da forma

 

e

respectivamente.

Assim escreveu:

e

 e deduziu que a = 2 e b = -1, pois

e

 Assm,

resultado que esperava obter. Para realizar seus cálculos Bombelli criou as seguintes regras para operar com   √-1:

 

 

 

e também a regra para a soma de dois números do tipo

Estava apresentado à sociedade matemática da época um número expresso como raiz de índice par com radicando negativo com o qual se poderia operar e também lançadas as bases para um ramo da Matemática com grande número de aplicações como eletricidade, eletrônica, sistemas digitais, etc.

Vale lembrar que Bombelli não descobriu uma fórmula para equação de terceiro grau e que a partir dele foram mais dois séculos para que a teoria fosse sistematizada. Na verdade, o Brasil já tinha 150 anos e as raízes negativas com índice par eram olhadas com desconfiança.

Concluindo, foram as equações do 3º grau e não do 2º que provocaram uma investigação teórica,  a partir da idéia de Bombelli, levando à origem dos números complexos.

Referências bibliográficas

Struik, Dirk. História Concisa das Matemáticas - Gradiva

Garbi, Gilberto Geraldo. O Romace das Equações Algébricas - Markon Books

Boyer, Carl Benjamin. História da Matemática - Edgard Blücher