Janelas da Matemática

Início da aula de Matemática. O problema era simples. “Um triângulo tem área de 6 cm² e altura igual a 1 cm. Qual a medida da base do triângulo?

Dona Margarida, a professora, começa a resolver o problema:

- Juliano, que dados temos?

Juliano responde:

- A área A do triângulo e sua altura h.

D. Margarida corrobora:

- Muito bem, Juliano! E escreve no quadro: A = 6 cm² h = 1 cm. E a seguir questiona a turma:

- Por onde se começa a solução de um problema?

Cristina responde:

- Como a senhora sempre diz, professora: “Pelo fim. Se sabemos o que queremos, podemos procurar os meios para chegar ao objetivo.”

- E qual é o nosso objetivo? Indaga D. Margarida.

- Achar a base do triângulo, responde Cristina.

- Excelente, Cristina, elogia D. Margarida e dirigindo-se à turma, pergunta:

- Qual ou que meios temos que usar para chegar ao objetivo?

- A fórmula da área do triângulo, responde Pedro.

- Muito bem, Pedro. Você sabe qual é a fórmula?

- Metade do produto da base pela altura do triângulo, responde Pedro.

D. Margarida escreve no quadro: ½.bh = A e continua:

- Substituindo os dados na fórmula, temos:

E continua:

- Já que b está multiplicado por ½, vamos aplicar a operação inversa da multiplicação para determinar o seu valor. E pergunta para a turma:

- Quem sabe qual é a operação inversa da multiplicação?

Luiza levanta a mão e responde:

- A divisão, professora.

D. Margarida elogia Luiza e prossegue:

- Como disse Luiza, temos que dividir seis por um meio. E escreve no quadro:

Nesse momento, José, aluno recentemente transferido de outro colégio, interfere:

- Professora, não posso dividir por meio. Se eu divido 6 bombons por 2 pessoas, cada uma fica com 3 bombons. Como posso dividir 6 bombons por meia pessoa?

D. Margarida percebe que os conceitos da divisão não foram incorporados por José e pergunta para a turma:

- Vocês concordam com José?

Uma nuvem de hesitação pairou sobre a turma. Uns poucos concordaram, outros, timidamente, discordaram. Percebendo a indecisão coletiva, D. Margarida disse:

- Vamos dar uma pausa na solução do nosso problema e revisar os conceitos da divisão matemática.

E prossegue calmamente, prendendo a atenção da classe:

- Quando José dividiu 6 bombons por 2 pessoas e encontrou 3 bombons para cada uma, ele usou o primeiro conceito por trás da divisão equitativa: a partilha. Nesse conceito, o primeiro elemento a considerar é o tamanho do todo, o segundo o número das partes e terceiro o tamanho das partes (o quinhão ou cota) que deve ser a mesma para cada parte.

No exemplo do José, 6 bombons correspondem ao tamanho do todo, 2 pessoas, o número das partes e 3 bombons por pessoa, o tamanho das partes. A partilha acontece quando dividimos dois elementos de tipos diferentes. Por esse motivo, o quinhão vem sempre acompanhado de “nome dos elementos do todo por nome dos elementos das partes”.

- Vamos a outro exemplo de divisão por partilha: “Num determinado campeonato de futebol cada time joga 10 partidas. No final do campeonato, a estatística informa que o campeão marcou 20 gols. Qual a média de gols marcados pelo ataque do time campeão?

- João, você pode dizer como resolver a questão?

- Claro, professora! É só dividir o número de gols pelo número de partidas. Dividindo 20 gols por 10 partidas, encontramos 2 gols por partida.

- Você identificou o tamanho do todo? Pergunta D. Margarida.

- Não só o tamanho do todo, que corresponde a 20 gols, também o número das partes, 10 partidas, além do quinhão: 2 gols por partida, professora.

- Arrasou, João! Elogia D, Margarida. E pergunta para turma:

- Alguém pode propor outro problema usando a divisão por partilha?

Teresa levanta a mão e diz:

- No meu aniversário mamãe comprou 300 salgadinhos e havia 25 pessoas na festa. Qual a cota de cada pessoa?

- Muito bem, Teresa. Você sabe resolver o problema? Pergunta D. Margarida.

- Lógico, professora. A solução do problema é fácil. O meu problema é dividir os salgadinhos.

Risos na classe, pois Teresa era "cheinha" e considerada a comilona da turma.

- Vamos à solução: basta dividir 300 salgadinhos por 25 pessoas e temos a cota: 12 salgadinhos por pessoa, explica Teresa.

- Muito bem “professora” Teresa, elogia D. Margarida.

- Professora, pergunta Cristina, quando papai leva a gente para comer no self-service, uma tabuleta informa que o preço da comida é de R$ 35,00/kg. O restaurante está usando a divisão com o conceito de partilha?

- Sim, Cristina, pois se está dividindo dois elementos diferentes, dinheiro por massa. Digamos que sua família tenha comido um total 2 kg (sem nenhum outro consumo) e seu pai tenha pago R$ 70,00. Dividindo os R$ 70,00 pagos por 2 kg de comida consumida, temos R$ 35,00/kg, exatamente a informação constante na tabuleta do restaurante.

- Cristina, pergunta D. Margarida, quantas pessoas tem a sua família?

- 5, professora. Responde Cristina.

- Então, continua D. Margarida, como você calcula a média de consumo de comida por pessoa?

- Ora, professora, a senhora fez uma pergunta já informando a solução. Basta dividir a comida consumida pelo número de pessoas. Num minutinho informo a resposta.

Após executar uns rabiscos no caderno, informa:

- Aqui no caderno, dividi 2 por 5 e encontrei 0,4. Então a resposta é 0,4 kg/pessoa.

- Excelente, elogia D. Margarida. E dirigindo à turma, perguntou:

- O conceito de divisão por partilha está entendido?

Pelo balançar das cabeças, D. Margarida sentiu a anuência da turma. E continua:

- Vamos agora ao segundo conceito por trás da divisão: a medida. A divisão no conceito de medida visa formar grupos de determinados tamanhos, conhecidos o tamanho do todo e a quantidade de elementos dos grupos. Normalmente a resposta é acompanhada do nome do elemento que origina a pergunta. Retornemos aos 300 salgadinhos da festa de aniversário da Teresa.

- "Ai lascou", professora, interrompe Luiz, o gaiato da turma. A senhora acha que sobrou algum salgadinho?

Novamente risos na turma.

- Calma Luiz, no exemplo ainda estamos nos preparativos da festa. A mãe da Teresa tem 300 salgadinhos e quer distribuí-los em pratinhos, de modo que cada pratinho contenha 12 salgadinhos. De quantos pratinhos a mãe da Teresa precisa?

- Responda você, Luiz, determina D. Margarida.

- Um instante, querida e amada mestre.

Luiz debruçou-se sobre o caderno e depois de efetuar os cálculos, respondeu:

- Dividi 300 por 12 e encontrei 25.

D. Margarida questiona:

- 25 o quê?

- Pratinhos, professora, responde Luiz.

- Perceberam a resposta deve vir acompanhada de "pratinhos", exatamente o nome do elemento que gerou a pergunta: "Quantos pratinhos ...?"

A resposta foi quase uníssona: “sim”, com o “i” do sim bem arrastado e enfatizado.

- Professora, intervém Priscila. Meu pai tem uma padaria. Um dia vi o padeiro retirar do forno uns tabuleiros cheios de "pãezinhos de leite". Aí eu perguntei: "Quantos pãezinhos tem em cada tabuleiro?" Ele respondeu: "200 pãezinhos". Aí eu indaguei; "O que vocês fazem com eles?" Ele respondeu: "Um tabuleiro geralmente vai para venda a varejo e os outros vão para a seção de embalagem, separados de 10 em 10, embalados em plástico e encaminhados para exposição e venda nas gôndolas".

E continua:

- No dia não dei importância ao fato, mas agora, pensando em quantas embalagens cada tabuleiro fornece, eu encontro 20 embalagens. Nesse caso eu estou usando a divisão como medida?

- Sim, Priscila, responde D. Margarida. Seu exemplo foi ótimo. Veja como a Matemática está no nosso cotidiano e a maioria das pessoas nem percebem. Parabéns, você aprendeu direitinho o conceito de divisão como medida.

Em seguida abriu sua bolsa e dela retirou um pequeno caderno e arrancou duas folhas. Uma das folhas foi dobrada ao meio e a outra ficou sobre a mesa.

Sob o olhar curioso da turma, retornou à bolsa, retirou uma tesoura e começou a cortar a folha dobrada no vinco.

Enquanto D. Margarida cortava o papel, Luiz, o gaiato, quebra o clima comentando:

- Bolsa de mulher cabe coisa, né professora? Risos na turma!

Na esportiva, D. Margarida respondeu:

- Você não faz idéia, Luiz! Não faz idéia! Guardou uma metade da folha dentro do caderno e mostrando a outra metade para a turma perguntou:

- O que representa esse pedaço de papel em minha mão?

Imediatamente Henrique respondeu:

- A metade da folha do caderno, professora.

- Exato, Henrique. E, dirigindo-se para José, o pivô da revisão sobre a divisão, disse:

- José, venha até aqui na mesa.

Visivelmente nervoso, José caminha passo a passo no sentido da mesa, sob o olhar intrigado da turma. A expectativa era: "O que será que vai acontecer com José?"

Percebendo o clima, D. Margarida docemente diz:

- Nada de nervosismo, José. Você apenas vai participar de uma experiência. No final, tenho certeza de que você vai adorar.

Entrega a José a folha cortada e a folha inteira e pergunta:

- José, quantas meias folhas cabem em uma folha?

José olha para uma e para outra. Timidamente responde:

- Duas meias folhas, professora.

- Correta a resposta. Me explique como você chegou ao resultado.

- Bem, professora. Quando estou nervoso não raciocínio muito rápido. Vi a senhora cortando uma folha ao meio, então, uma folha inteira tem dois pedaços da metade de folha.

- Sabe José, o que fizemos foi dividir 1 por ½. E qual foi o resultado da divisão de 1 por ½?

- 2, professora.

- Então, podemos dividir um número por ½?

- Sim, professora.

- Vamos avançar um pouco nesse tipo de divisão. Dobre a metade da folha ao meio, pegue a tesoura e corte no vinco, guarde um pedaço e fique com o outro na mão.

Efetuada a operação, lá estava José com um pedacinho de papel na mão. Então, D. Margarida perguntou;

- O que representa o pedaço de papel que você tem na mão?

José responde:

- A metade da metade da folha do caderno.

D. Margarida insiste:

- Ou ... ou ...

Do fundo da sala ouve-se uma voz:

- Um quarto da folha!

- Não vale soprar, Henrique. José ia chegar ao resultado. Dirigindo-se novamente ao José, pergunta:

- Quantos quartos de folha cabem numa folha?

José, visivelmente mais calmo, pensa um pouco responde:

- 4 quartos de folha.

- Perfeito! Como você chegou ao resultado?

- Bem! Primeiro, mentalmente, tentei imaginar quantos pedaços do papel na minha mão caberiam na folha inteira e concluí que eram 4 pedaços. Depois dividi 1 por 1/4 e o resultado também foi 4.

- Excelente, José. Primeiro dividimos 1 por ½ e encontramos 2, agora você dividiu 1 por 1/4 e encontrou 4. Agora vamos à melhor parte.

Foi até a bolsa e retirou uma barra de chocolate fechada. E num tom jocoso, falou:

- Viu, Luiz. Eu não disse que você não fazia idéia do que tem numa bolsa de mulher? Novamente, risos na turma.

Entregou a barra de chocolate a José e disse:

- Passe a mão sobre a embalagem do chocolate e me diga o que percebeu.

José apalpa de um lado, de outro e diz:

- De um lado é liso e de outro percebi umas reentrâncias. Mas isso a senhora nem precisava pedir para eu apalpar. Sou fã de chocolate.

- Muito bem, José. Normalmente essas reentrâncias dividem a barra toda em pequenas barrinhas. Se eu disser que uma barrinha corresponde a um dezesseis avos da barra, como você calcularia quantas barrinhas tem dentro da embalagem?

- Dividindo 1 por 1/16, respondeu José.

- E o resultado?

- 16 barrinhas, professora.

- Agora, olhe para o quadro e me diga o que vê na última linha.

- Você pode me dizer o valor de b?

- Sim, professora. Se o numerador da fração fosse 1, o resultado de 1 por ½, seria 2. Como 6 é seis vezes maior que 1, multiplico o 2 por 6 e encontro 12.

- Parabéns, José. A barra de chocolate é sua. Você a mereceu.

José, orgulhoso, retorna ao seu lugar sob aplausos da turma.

Passado o momento de euforia, D. Margarida continua a aula dizendo:

- Meu objetivo, na revisão dos conceitos por trás da divisão, era apresentar apenas os dois casos expostos. Mas o José, sem perceber, usou um conceito bastante sutil da divisão: a comparação. José usou esse conceito quando disse que 6 era seis vezes maior do que um.

- Na comparação desejamos saber quantas vezes a medida de uma grandeza é maior ou menor do que a medida de outra grandeza da mesma natureza. O resultado da divisão é denominando razão. De um modo geral, o resultado é acompanhado da palavra “vezes”.

- Retornemos ao exemplo da padaria do pai da Priscila. Um tabuleiro grande tem 200 pãezinhos e depois de separados e embalados, cada embalagem contém 10 pãezinhos. A pergunta é: "Quantas vezes a quantidade de pãezinhos do tabuleiro é maior que a quantidade de pãezinhos da embalagem?"

- Priscila, você sabe resolver?

- Fácil, professora! Basta dividir 200 por 10. O resultado é 20.

- Exatamente. O número de pãezinhos do tabuleiro é 20 vezes maior do que o número de pãezinhos da embalagem.

- Um último problema: “Luiz recebe R$ 50,00 de mesada e Henrique, R$ 100,00. Como se relacionam as mesadas de Luiz e Henrique?” Responda, Henrique.

- Antes de resolver o problema, gostaria que a senhora para sugerisse esse valor para o meu pai. Risos na classe!

- Quanto ao problema, continua Henrique, dividiria R$ 50,00 por R$ 100,00, que resulta em ½.

- Beleza, Henrique! Você poderia responder que a mesada do Luiz está para a mesada do Henrique na razão de 1 para 2 ou dizer que a mesada do Luiz é duas vezes menor do que a mesada do Henrique.

Nesse instante soou a campainha indicando o final da aula.

Enquanto os alunos se deslocam para a porta de saída da sala, D. Margarida ouve curtos diálogos:

- “Maneiro mano”. “Sinistra divisão”. “Quem se deu bem foi José: além de ganhar uma barra de chocolate vai ganhar uma mina - já está até dividindo o chocolate com ela”. “Pô cara. Parece que só hoje aprendi pra valer o conceito de divisão”. “D. Margarida é fera em Matemática.”

A História da Civilização relata que o vale do rio Nilo (Egito), por volta de 4000 a.C, era uma região muito fértil e, por isso, zona de atração para povos nômades dos arredores. Naquele tempo uma numerosa população veio se estabelecer no local, aprendeu a polir pedras e trabalhar com metais. Eram os egípcios que também reconheceram a vantagem do cultivo da terra, além de construírem casas e tumbas. Com as cheias previsíveis do rio Nilo aprenderam a fazer demarcações dos limites de propriedades agrícolas quando o rio voltava ao seu curso normal. Em razão desse fato, desenvolveram conhecimentos significativos de Geometria. Fixaram-se definitivamente lá, convivendo com fenômeno do rio Nilo, cujas cheias controlavam com barragens, garantindo assim sua sobrevivência com a produção agrícola. Nasceu um estado com alto nível de civilização e formidável poderio. Sua religião reconhecia, como divindade fundamental, o rio Nilo (deus Osiris). Havia uma crença de que o deus Osiris protegia o faraó (chefe desse estado) e este se preocupava para que o culto prestado a esse deus tivesse toda a magnificência que ele merecia.
Acreditavam que o deus Osiris ensinava ao povo, entre outras coisas, as vantagens do cultivo da terra.
O faraó era tido e adorado como um deus e o culto a ele dedicado era perpetuado em seu túmulo, uma pirâmide.
Os faraós utilizavam seu imenso poder para obrigar todos os habitantes a trabalharem em grandes obras arquitetônicas, cuja finalidade era exaltar suas qualidades divinas (dos faraós). Assim, começavam a ser construídas as pirâmides onde depositavam os corpos sagrados dos faraós. Essas tumbas compunham-se de uma câmara sepulcral e de outros recintos destinados às oferendas. O culto aos mortos é um dos traços característicos da religião egípcia.
As principais pirâmides egípcias são Djedefré ( em Abu Roache); Quéops, Quéfrem e Miquerinos (em Gisé); as dos reis da 5ª dinastia (em Abusir El-Méleck) e as dos reis da 6ª dinastia (em Sacará).
A mais alta de todas é a de Quéops (faraó da 4ª dinastia), cuja ponta, hoje desaparecida, chegava a ter aproximadamente 146,59 m acima da sua base. Sua construção foi iniciada em 2640 a.C. por determinação do próprio Quéops. Cerca de 100.000 escravos trabalharam nela e o tempo de execução foi de 20 anos. Há relatos de que muitos dos escravos morreram, pelo brutal esforço a que eram submetidos durante o trabalho.
Para construir a pirâmide de Quéops, foram usados 2.300.000 blocos de calcário, cada bloco com massa de 2.500 kg. Esses blocos foram sobrepostos até atingirem a altura de 146,59 m e eram extraídos das montanhas de Mokkatam. Os carregadores os transportavam em enormes embarcações (jangadas) através do rio Nilo. Depois, os blocos eram levados até a obra sobre carros de madeira e os escravos os elevavam de um degrau a outro, ajudados por uma engenhoca formada de troncos de árvores. É claro que a movimentação das pedras mais se devia à brutal força física dos escravos do que à ajuda da engenhoca. Como já foi mencionado acima, muitos escravos morriam por não resistirem à brutalidade do esforço, às chicotadas dos seus algozes e à precariedade da alimentação.
A pirâmide de Quéops é conhecida como a "Grande Pirâmide", uma das sete maravilhas do mundo antigo.
A construção e orientação das pirâmides egípcias tinham excelente grau de precisão, o que mostra o quanto os egípcios se empenharam no desenvolvimento e estudo da Geometria naquela época.
Assim como no vale do rio Nilo, também no mediterrâneo oriental vários povos, gregos também chamados helênicos, assírios e fenícios entre outros, desenvolveram uma cultura que se conhece com o nome genérico de cultura grega. Essa nova civilização composta de povos diferentes, tinha um objetivo comum: assumir a hegemonia cultural não só da região mediterrânea como nos vales fluviais. Abriram caminho até o mar e chegaram até o vale do rio Nilo. (As lutas pela conquista de terras eram muito comuns naquela época). Tinham sede de aprender coisas novas e aperfeiçoavam os conhecimentos que recebiam.
Mercadores, negociantes e estudiosos gregos dirigiam-se aos centros de cultura do Egito e entraram em contato com a matemática pré-helênica.
Não houve uma ruptura na cultura egípcia. Os estudiosos egípcios continuaram a produzir textos em papiros.
Muitos desses papiros resistiram ao tempo, como o papiro de Rhind. Este papiro foi copiado por Ahmes, um escriba, daí ser conhecido também como Papiro de Ahmes, o mais extenso documento matemático do antigo Egito.
Com o tempo, a Matemática egípcia, que teve um início bastante promissor, foi declinando enquanto os gregos cada vez mais se destacavam. Infelizmente, não existem fontes que relatem um panorama inicial da matemática grega.
Relatos dão conta de que, bem antes da era cristã, a Grécia tornava-se, pouco a pouco, a capital da sabedoria.