Vamos
retomar a questão da busca pela solução analítica para equações cúbicas
incompletas da forma x³ + px = q ou x³ = px + q ou x³ + q = px,
para q e p positvos.
Foram investigadas pelo professor Scipione del Ferro. Consta que ele resolveu todos os tipos mas não publicou tais descobertas, que só mais tarde se tornaram conhecidas. Um veneziano Tartaglia redescobriu os métodos de Scipione mas guardou segredo em relação ao método. Finalmente revelou suas idéias a um médico de Milão, Girolano Cardano, que jurou guardar segredo. Dez anos depois, Cardano publica um pequeno notável livro de álgebra (Ars Magna). Tartaglia descobriu que o método descoberto por ele era divulgado amplamente no livro com o reconhecimento do descobridor, mas roubado.
Foram investigadas pelo professor Scipione del Ferro. Consta que ele resolveu todos os tipos mas não publicou tais descobertas, que só mais tarde se tornaram conhecidas. Um veneziano Tartaglia redescobriu os métodos de Scipione mas guardou segredo em relação ao método. Finalmente revelou suas idéias a um médico de Milão, Girolano Cardano, que jurou guardar segredo. Dez anos depois, Cardano publica um pequeno notável livro de álgebra (Ars Magna). Tartaglia descobriu que o método descoberto por ele era divulgado amplamente no livro com o reconhecimento do descobridor, mas roubado.
Houve debates amargos,
insultos recíprocos que deram origem a documentos nos quais a história desta
descoberta chegou ao domínio público. A solução ficou conhecida como solução de
Cardano.
Vejamos alguns exemplos
concretos, usando a fórmula de Cardano:
1 - Resolver a equação x³ - 6x - 9 = 0 (p = -6 e q = -9) que se se enquadra no tipo
x³ = px + q
x = 2 + 1 = 3.
Constata-se que 3 é
realmente uma solução da equação dada.
À primeira vista
parecia que tudo estava resolvido, mas começavam a surgir dúvidas. A mais
simples delas era a seguinte: se a fórmula de Bhaskara exibia as duas raízes da
equação do 2º grau, por que a fórmula de Cardano só apresentava uma raiz? Onde estavam as outras duas?
2 - Por simples verificação, constata-se que 4 é
uma solução para a equação x³ - 15x - 4 = 0. Mas veja o resultado final da
aplicação da fórmula de Cardano ao resolvê-la:
Caiu-se na extração de raízes quadradas de números negativos e
extração de raízes cúbicas de números dos quais não se conhecia a natureza.
Os fatos indicavam que
os números com que a Matemática vinha lidando há séculos não eram suficientes
para o estudo da Álgebra. Os matemáticos estavam diante de um tipo de número
totalmente desconhecido.
O homem que conseguiu
atravessar a ponte que levava aos novos números foi o engenheiro hidráulico
Rafael Bombelli, nascido em Bolonha, Itália, em 1530.
Usando para exemplo a
equação x³ - 15x - 4 = 0, que resolvida pelo método de Cardano levava à
expressão:
e, sabendo que uma raiz
era x = 4 (constatada por substituição), baseou-se no “pensamento rude”
como ele mesmo revelou no livro “L’ Algebra parte Maggiore dell’
Arithimetica”.
Acreditou quedeveriam ser números da forma
e
respectivamente.
Assim escreveu:
e
e deduziu que a = 2 e b = -1, pois
e
Assm,
resultado que esperava obter. Para realizar seus cálculos
Bombelli criou as seguintes regras para operar com √-1:
e também a regra para a soma de dois números do tipo
Estava apresentado à
sociedade matemática da época um número expresso como raiz de índice par com
radicando negativo com o qual se poderia operar e também lançadas as bases para
um ramo da Matemática com grande número de aplicações como eletricidade,
eletrônica, sistemas digitais, etc.
Vale lembrar que
Bombelli não descobriu uma fórmula para equação de terceiro grau e que a partir
dele foram mais dois séculos para que a teoria fosse sistematizada. Na verdade,
o Brasil já tinha 150 anos e as raízes negativas com índice par eram olhadas
com desconfiança.
Concluindo, foram as
equações do 3º grau e não do 2º que provocaram uma investigação teórica, a partir da idéia de Bombelli, levando à
origem dos números complexos.
Referências bibliográficas
Struik, Dirk. História
Concisa das Matemáticas - Gradiva
Garbi, Gilberto Geraldo. O
Romace das Equações Algébricas - Markon Books
Boyer, Carl Benjamin. História da Matemática - Edgard
Blücher
Rosa,
ResponderExcluirli tudo, de ponta a ponta.Gostei muito de tudo.Aliás, de longa data sou meio que "apaixonado" por este incrível "i", que tive a graça de conhecer durante minha formação na COPPE - RJ.
Acho que ficou muito bom e me alegra a idéia de que teremos um novo canal de diálogo.
Tive a impressão de que você se sentiu mais tranquila e mais fluente escrevendo a 3a parte.
É isso?
Sendo ou não, o certo é que todos os profissionais e todos os amadores(como eu!) tirarão proveito das sua reflexões.
Portanto, continue.
Parabéns e um abraço a você e outros aos outros.
Geraldo