quarta-feira, 26 de setembro de 2012

PAVIMENTAÇÃO NO PLANO - MOSAICOS DE ESCHER - Parte 1

Pavimentar um plano é cobri-lo com ladrilhos sem deixar espaços intermédios nem sobreposições. A figura a seguir mostra uma pavimentação com ladrilhos irregulares.


As figuras formadas na pavimentação são conhecidas como mosaicos.
Mosaicos geométricos são aqueles que tem como base uma malha formada por figuras geométricas. (quadrados, triângulos, paralelogramos, etc.)
Para tornar a malha mais complexa podemos dividir suas células e remontá-las, mantendo assim a equivalência plana. Acompanhe a seqüência abaixo.

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No filme anterior transformamos um quadrado em um figura equivalente (de mesma área). Partes do quadrado foram movimentados usando isometrias.
As transformações no plano que não distorcem as formas e tamanhos das figuras, são denominadas isometrias. Etimologicamente isometria origina da palavra isométrico composição de duas palavras gregas, iso, que significa igual e metro, que significa medida (isométrico = mesma medida). Portanto, numa isometria, todos os movimentos conservam a distância e a posição relativa entre pontos da forma.

As isometrias básicas são: translação, rotação e reflexão.


A Translação
Na translação, todos os pontos sofrem um mesmo deslocamento numa determinada direção. A animação a seguir ilustra uma translação:

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A Rotação simples
Na rotação todos os pontos do plano movimentam-se girando o mesmo ângulo em torno de um ponto denominado ponto central. A figura a seguir ilustra uma rotação:

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A Reflexão simples
A reflexão em relação a um eixo de simetria é uma isometria que goza das seguintes propriedades:
a)   os pontos localizados no eixo não se movem pela ação da reflexão;
b)   a distância de um ponto ao eixo de simetria é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo de simetria;
c)   a imagem da figura é enantiomorfa (enantio = contrário e morfo = forma) em relação à figura original. Duas formas ou figuras enantiomorfas são formas ou figuras que não se podem sobrepor, e que são simétricas em relação a um plano, como, p. ex., um objeto e sua imagem refletida no espelho.

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A inversão de orientação é uma conseqüência do processo de construção. Para produzir a reflexão temos que tirar a figura do plano ao girá-la em torno do eixo de simetria. Num deslocamento ou rotação arrastamos a figura original, sem retirá-la do plano.

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Outra conclusão importante pode ser retirada da reflexão: se desenharmos numa folha de papel duas figuras simétricas e dobrarmos o papel de tal modo que a dobra coincida com o eixo de simetria, as duas figuras coincidirão perfeitamente.

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Em alguns casos podemos associar duas isometrias. Na animação filme a seguir temos uma rotação de 90° associada a uma translação.

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EQUIVALÊNCIA PLANA
Abdicando do formalismo matemático, vamos afirmar que duas figuras planas são equivalentes quando possuem a mesma área.
A animação abaixo mostra a transformação de um triângulo em um quadrado.

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Na próxima postagem falaremos de Escher e seus trabalhos.

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